第一章 数制和编码
课程信息
- 课程：1A003 计算机组织与系统结构（第一部分 数字逻辑）
- 章节：第一章 数制和编码
- 讲师：田浩然上传资料（北京大学课程体系）
- 格式：PowerPoint 97-2003 二进制格式，LibreOffice 转 PDF 后全文提取
- 页数：约 25 页
- 状态：done（文字版提取完整）
本章知识体系
本章共五大模块：进位计数制及转换 → 数的编码表示（原码/补码/反码）→ 十进制数的二进制编码（BCD码）→ 字符代码（ASCII码）。
一、进位计数制及转换
进位计数制三要素
- 基数：数码个数（二进制基数为2，十进制为10，十六进制为16）
- 位权：每一位的权重 = 基数的幂次
- 进位规则：逢基数进一
常用进位计数制
| 进制 | 基数 | 数码 | 位权示例（整数第i位） | 表示后缀 |
|---|---|---|---|---|
| 二进制 | 2 | 0, 1 | 2^i | B |
| 八进制 | 8 | 0-7 | 8^i | O / Q |
| 十进制 | 10 | 0-9 | 10^i | D |
| 十六进制 | 16 | 0-9, A-F | 16^i | H |
进制转换方法
十进制 → 其他进制：
- 整数部分：除基取余，逆序排列
- 小数部分：乘基取整，顺序排列
其他进制 → 十进制：按权展开求和
二进制 ↔ 八进制/十六进制：
- 三位二进制对应一位八进制（2³ = 8）
- 四位二进制对应一位十六进制（2⁴ = 16）
- 整数部分从右往左分组，小数部分从左往右分组，不足补零
二、数的编码表示
（一）机器数与真值
定义：一个数（连同符号）在机器中加以数码化后的表示形式，称为机器数；原来的数称为机器数的真值。
表示方法：最高位为符号位，0 表示正数，1 表示负数，其余位为数值位。
例1：N1 = +1011001 → 0 1011001 （符号位0 + 数值位）
例2：N2 = -1011001 → 1 1011001 （符号位1 + 数值位）
（二）原码（Sign-Magnitude）
定义（定点小数）：
┌ x 当 1 > x ≥ 0
[x]原 = ┤
└ 1 - x 当 0 ≥ x > -1
特点：
- 符号-数值表示法，直观易懂
- 真值 0 有两种表示：[+0]原 = 0.00…0，[-0]原 = 1.00…0
- 加减法运算麻烦（需判断符号和大小）
示例：
x = +0.1011011 → [x]原 = 0.1011011
x = -0.1011011 → [x]原 = 1.1011011
（三）补码（Two’s Complement）
1. 补码的引出——同余与模
日常生活例子：时钟校准
- 7点调到5点：倒拨2小时（7-2=5），或顺拨10小时（7+10=12+5=5）
- 模 M = 12，-2 与 +10 对模 12 同余：-2 ≡ 10 (mod 12)
- -2 的补码（模12）是 10
同余定义：若 a mod M = b mod M，则称 a, b 对模 M 同余，记作 a ≡ b (mod M)。
计算机中的应用：
- 运算受字长限制，有溢出量（即模）
- 补码表示法：把减去一个正数看成加上该负数的补码
- 定点小数补码以 2 为模
2. 补码定义（定点小数）
┌ x 当 1 > x ≥ 0
[x]补 = ┤
└ 2 + x 当 0 ≥ x ≥ -1
示例：
[+0.1011101]补 = 0.1011101
[-0.1011101]补 = 2 + (-0.1011101) = 1.0100011
3. 由原码求补码
- 正数：补码与原码相同
- 负数：符号位不变（仍为1），数值部分按位求反，最低位加 1
- 简称：求反加 1
这一规则同样适用于由补码求原码（对于负数）。
零的唯一性：补码中真值 0 的表示是唯一的
[+0]补 = 0.00...0
[-0]补 = 2 + (-0.00...0) = 10.00...0 = 0.00...0 （模2舍弃高位）
（四）反码（One’s Complement）
用途：常作为原码与补码转换的中间形式，直接用于运算的机器很少见。
定义（定点小数，m 位数值位）：
┌ x 当 1 > x ≥ 0
[x]反 = ┤
└ (2 - 2^(-m)) + x 当 0 ≥ x > -1 [mod (2 - 2^(-m))]
转换规则：
- 正数：反码与原码相同
- 负数：符号位不变，数值位按位求反（与补码区别是末位少加1）
零有两种表示：
[+0]反 = 0.00...0
[-0]反 = 1.11...1
示例：
[+0.1101001]反 = 0.1101001
[-0.1101001]反 = 1.0010110
（五）二进制整数的机器数表示
与小数类似，左边添加一位符号位。八位整数示例：
x = +1010101 → [x]原 = 01010101, [x]反 = 01010101, [x]补 = 01010101
x = -1010101 → [x]原 = 11010101, [x]反 = 10101010, [x]补 = 10101011
（六）原码、补码、反码转换关系
符号位+/− ↔ 0/1，数值位不变
真值 ────────────────────────────────→ 原码
↑ │
│ 符号位不变，数值位： │ 符号位不变，数值位：
│ • 正：不变 │ • 正：不变
│ • 负：求反加1 │ • 负：求反
└───────────────────────────────────────┘ ↓
补码 ←────────────────── 反码
（末位加1） （反码→补码）
（七）三种码制比较小结
| 特性 | 原码 | 反码 | 补码 |
|---|---|---|---|
| 正数表示 | 符号位0 + 真值 | 与原码相同 | 与原码相同 |
| 负数表示 | 符号位1 + 真值 | 符号位1 + 数值位取反 | 符号位1 + 数值位取反+1 |
| 零的表示 | 两种（+0/-0） | 两种（+0/-0） | 唯一 |
| 加减法 | 麻烦（需比较大小） | 可做加法但有循环进位 | 最方便（直接加，溢出舍弃） |
| 直观性 | 最直观 | 一般 | 需转换理解 |
关键洞见：补码是现代计算机采用的主流表示方法，核心优势是减法可以用加法实现，无需单独的减法器，且零的表示唯一。
三、十进制数的二进制编码（BCD码）
基本概念
BCD码（Binary Coded Decimal）：用几位二进制码来表示一位十进制数。
常见 BCD 码：8421 码、余 3 码、格雷码等。通常说 BCD 码即指 8421 码。
有权码 vs 无权码
- 有权码：各位有固定权值（如 8421 码，各位权分别为 8, 4, 2, 1）
- 无权码：依靠编码规则，各位无权值大小
- 例：格雷码（相邻代码只有一位不同）、五中取二码
组合 BCD 码 vs 分离 BCD 码
- 组合 BCD 码（Packed BCD）：每个字节存放两个十进制数字
- 例：(9502)₁₀ → 1001 0101 0000 0010
- 分离 BCD 码（Unpacked BCD）：每个字节存放一个十进制数字（低四位，高四位无关）
四、字符代码
- ASCII 码（American Standard Code for Information Interchange）
- 7 位编码，共 128 个字符
- 包含：控制字符（32个）、可打印字符（96个：数字、字母、标点等）
- 扩展 ASCII 码：8 位，256 个字符
五、本章重点考点速查
- 补码定义与计算：给定一个数的真值，求其原码/补码/反码表示
- 补码的优势：零唯一 + 减法变加法 + 运算简单
- 原码/补码/反码的相互转换：正数三者相同，负数”求反加一”
- 同余与模的概念：理解补码的数学基础
- BCD码分类：有权/无权、组合/分离
- 符号位位置与含义：最高位，0正1负
作业题参考
- 写出下列二进制数的原码、补码和反码：
- 0.1001011, -0.1011010
- +1100110, -1100110
- 数在计算机中的二进制表示形式称为 ______（机器数）
- 正数的补码与原码 ______（相同）
- 十进制负数 -38 的 8 位二进制补码表示是 ______
章节关联
- 本章是数字逻辑和计算机组成的数学基础
- 后续章节：逻辑代数的基本原理及应用-第二章-计算机组织与系统结构（逻辑代数）
- 关联课程：0A005_操作系统部分 涉及地址空间和存储管理时会用到数制和编码知识
- 与 《结构化计算机组成》-Structured-Computer-Organization-第6版-Tanenbaum 中数据表示部分互补