逻辑代数的基本原理及应用 - 第2章
课程：1A003 计算机组织与系统结构（第一部分 数字逻辑） 章节：第二章 逻辑代数的基本原理及应用 来源：北京大学课程PPT（作者 wqg，hl 修改，2007年9月第43版）
一、逻辑代数（布尔代数）的基本概念
（一）逻辑代数的特点
- 二值性：变量只能取”0”和”1”两种取值，表示两种对立状态的符号（不是数值大小，而是逻辑状态）
- 三种基本运算：变量之间的运算关系为”与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算
（二）基本逻辑运算
1. “或”运算（逻辑加/逻辑和）
- 运算符号：
+、∨ - 表达式：C = A + B
- 真值表：
| A | B | C = A + B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
- 口诀：有1出1，全0出0
2. “与”运算（逻辑乘/逻辑积）
- 运算符号：
·、∧、× - 表达式：C = A · B
- 真值表：
| A | B | C = A · B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
- 口诀：有0出0，全1出1
3. “非”运算（逻辑否定/反相）
- 运算符号：变量上方横线（Ā）、
¬ - 表达式：C = Ā（A非）
- 真值表：
| A | C = Ā |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
- 口诀：有0出1，有1出0
真值表的概念
列出输入变量的全部可能取值及对应输出值所形成的表格，叫真值表（Truth Table），也叫全值表。
n个输入变量有 2ⁿ 种可能的取值组合。
（三）逻辑函数的相等
设有两个逻辑函数：
- F₁ = f₁(A₁, A₂, …, Aₙ)
- F₂ = f₂(A₁, A₂, …, Aₙ)
相等定义：如果对应于逻辑变量 A₁,A₂,…,Aₙ 的任何一组取值，F₁ 和 F₂ 都相等，则称 F₁ = F₂。
核心推论：
- 如果 F₁ 和 F₂ 有相同的真值表，则 F₁ = F₂
- 若 F₁ = F₂，则它们的真值表一定相同
- → 可以用真值表法证明逻辑等式
例：证明 F₁ = A + AB，F₂ = A + B，则 F₁ = F₂
| A | B | F₁ = A + AB | F₂ = A + B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
由表可见，F₁ 与 F₂ 真值表完全相同，故 F₁ = F₂。 （这就是吸收律的一种形式）
二、逻辑代数的基本公式
1. 0-1 律（自等律/01律）
| 或运算 | 与运算 |
|---|---|
| 0 + A = A | 1 · A = A |
| 1 + A = 1 | 0 · A = 0 |
2. 互补律（互补律/否定律）
| 或运算 | 与运算 |
|---|---|
| A + Ā = 1 | A · Ā = 0 |
3. 重叠律（幂等律/重迭律）
| 或运算 | 与运算 |
|---|---|
| A + A = A | A · A = A |
变量自身运算结果还是自身。
4. 交换律
| 或运算 | 与运算 |
|---|---|
| A + B = B + A | A · B = B · A |
5. 结合律
| 或运算 | 与运算 |
|---|---|
| (A + B) + C = A + (B + C) | (A · B) · C = A · (B · C) |
6. 分配律
与对或的分配（普通代数也成立）：
- A · (B + C) = A·B + A·C
或对与的分配（逻辑代数特有，普通代数不成立）：
- A + B·C = (A + B) · (A + C)
7. 吸收律
| 形式 | 公式 | 记忆要点 |
|---|---|---|
| 形式一 | A + A·B = A | 长的含短的，结果为短的 |
| 形式二 | A + Ā·B = A + B | 相反因子可以消去 |
| 形式三 | A · (A + B) = A | 对偶形式 |
| 形式四 | Ā · (A + B) = A·B | 对偶形式 |
8. 反演律（德·摩根定律 / De Morgan’s Law）
| 形式 | 公式 |
|---|---|
| 或非 = 非与 | A + B 的非 = Ā · B̄ |
| 与非 = 非或 | A · B 的非 = Ā + B̄ |
口诀：“与”变”或”，“或”变”与”，变量全变非
这是逻辑代数中最重要的定律之一，广泛用于逻辑变换和化简。
9. 包含律（冗余律/ consensus定理）
| 形式 | 公式 |
|---|---|
| 与或式 | AB + ĀC + BC = AB + ĀC |
| 或与式 | (A+B)(Ā+C)(B+C) = (A+B)(Ā+C) |
含义：在与或表达式中，若两个乘积项分别包含 A 和 Ā，而这两项的其余因子组成第三个乘积项，则第三个乘积项是多余的（冗余项），可以消去。
10. 对合律（双重否定律）
- A 的非的非 = A（双重否定等于原变量）
三、利用基本公式化简逻辑函数
代数化简法
运用逻辑代数的基本公式和定律，对逻辑函数进行化简，得到最简形式。
例 1：F = AB + B̄C + ĀC 化简
F = AB + B̄C + ĀC
= AB + (B̄ + Ā)C （分配律，提取公因子 C）
= AB + (AB)̄ · C （反演律：B̄ + Ā = (A·B)̄）
= AB + C （吸收律：X + X̄Y = X + Y）
结果：F = AB + C
这是包含律的直接应用：AB 和 ĀC 两项，一个含 A 一个含 Ā，B 和 C 组成第三项 BC（被反演律包裹），可以消去冗余项。
例 2：F = AB + ĀB̄ + ABCD + ĀB̄CD 化简
F = AB + ĀB̄ + ABCD + ĀB̄CD
= A(B + BCD) + Ā(B̄ + B̄CD) （分组提取公因子）
= A(B + CD) + Ā(B̄ + CD) （吸收律：B + BCD = B + CD）
= AB + ACD + ĀB̄ + ĀCD （展开）
= AB + ĀB̄ + CD(A + Ā) （提取 CD 的公因子）
= AB + ĀB̄ + CD （互补律：A + Ā = 1）
结果：F = AB + ĀB̄ + CD
其他化简方法
除代数化简法外，还有：
- 图解化简法（卡诺图法 / Karnaugh Map）
- 列表法（Q-M 法 / Quine-McCluskey 法）
四、核心概念速查
| 概念 | 要点 |
|---|---|
| 逻辑变量 | 只有0和1两种取值，表示状态而非数值 |
| 三种基本运算 | 与（·）、或（+）、非（̄） |
| 真值表 | n变量有2ⁿ种组合，证明等式的基本方法 |
| 德·摩根定律 | 与↔或互换，变量全部取反 |
| 吸收律 | A + ĀB = A + B（消去相反因子） |
| 包含律 | AB + ĀC + BC = AB + ĀC（冗余项可消去） |
| 分配律 | 或对与的分配是逻辑代数特有 |
| 化简方法 | 代数法、卡诺图法、Q-M列表法 |
章节关联
- 前序：数制和编码-第一章-计算机组织与系统结构（第1章：数制和编码）
- 后续：逻辑门电路（第3章）、组合逻辑电路（第4章）、触发器（第6章）、时序逻辑电路（第7章）
- 课程总览：1A003 计算机组织与系统结构（第一部分 数字逻辑，共7章）
- 关联知识：布尔代数是数字电路和计算机硬件的数学基础，后续所有逻辑设计都建立在本章之上
作业
- P151：第12题
- P152：第13题、第16题(1)(3)(5)、第17题(1)(3)(5)