信号与系统：基于 MATLAB 应用

Signals and Systems with MATLAB Applications, Second Edition Steven T. Karris 著，Orchard Publications 出版

面向电子工程专业大三、大四学生和在职工程师的信号与系统教材。先修要求：微积分基础 + 基本电路理论。全书以 MATLAB 为工具，强调理论与计算实践结合，每章配大量例题和详细习题解答。

全书结构

全书 11 章 + 3 个附录，按”连续时间 → 离散时间 → 滤波器设计”的主线展开：

部分	章节	主题	关键内容
基础信号	第1章	基本信号	单位阶跃 / 单位斜坡 / 冲激函数及其性质
Laplace 变换	第2-4章	拉普拉斯变换及电路分析	变换定义/性质、部分分式展开、s域电路分析、传递函数
系统分析	第5-6章	状态变量 & 冲激响应	状态方程、状态转移矩阵、卷积积分
傅里叶分析	第7-8章	傅里叶级数 & 傅里叶变换	周期信号分解、对称性、傅里叶变换性质与对、系统函数
离散时间	第9-10章	Z变换 & DFT/FFT	Z变换性质、离散系统传递函数、DFT定义、FFT算法
滤波器	第11章	模拟与数字滤波器	Butterworth/Chebyshev/椭圆滤波器、IIR/FIR、频率变换
附录	A/B/C	数学工具	MATLAB入门、复数复习、矩阵与行列式

第1章：基本信号（Elementary Signals）

三类基本信号

单位阶跃函数 u₀(t)
- 定义：t<0 时为 0，t>0 时为 1
- 用途：描述电压/电流源的突然接入，是构造任意波形的基础
- 任意波形都可表示为阶跃函数的组合
单位斜坡函数 u₁(t)
- 定义：u₁(t) = ∫ u₀(τ)dτ（从 -∞ 到 t）
- 即 t≥0 时 u₁(t) = t，t<0 时为 0
单位冲激函数（δ函数）
- 是单位阶跃的导数：δ(t) = du₀(t)/dt
- 定义性质：∫δ(τ)dτ（-∞到t）= u₀(t)，且 δ(t) = 0 对所有 t≠0

δ函数的两个核心性质

采样性质（Sampling Property）：f(t)·δ(t-a) = f(a)·δ(t-a) ——冲激函数把连续信号在冲激位置的”样值”提取出来
筛选性质（Sifting Property）：∫f(t)·δ(t-α)dt（-∞到+∞）= f(α) ——通过积分筛选出函数在特定点的值

高阶冲激（Doublet 等）

冲激的一阶导数 δ’(t)（doublet函数）也有采样性质： f(t)·δ’(t-a) = f(a)δ’(t-a) - f’(a)δ(t-a)

第2-3章：拉普拉斯变换（The Laplace Transformation）

定义

双边拉普拉斯变换：F(s) = ∫f(t)e
单边拉普拉斯变换：F(s) = ∫f(t)e
逆变换：f(t) = (1/2πj)∫F(s)e^(st)ds（沿 Bromwich 围道）
记号：f(t) ⇔ F(s)

核心性质（必须掌握）

性质	时域	s域
线性	c₁f₁(t) + c₂f₂(t)	c₁F₁(s) + c₂F₂(s)
时移	f(t-a)u₀(t-a)	e^(-as)F(s)
频移	e^(-at)f(t)	F(s+a)
尺度变换	f(at)	(1/a)F(s/a)
时域微分	df(t)/dt	sF(s) - f(0-)
时域微分（n阶）	dⁿf(t)/dtⁿ	sⁿF(s) - sⁿ⁻¹f(0-) - … - f⁽ⁿ⁻¹⁾(0-)
s域微分	t·f(t)	-dF(s)/ds
时域卷积	f₁(t) * f₂(t)	F₁(s)·F₂(s)
s域卷积	f₁(t)·f₂(t)	(1/2πj)F₁(s) * F₂(s)

常用变换对

f(t)	F(s)
u₀(t)	1/s
t·u₀(t)	1/s²
tⁿ·u₀(t)	n!/sⁿ⁺¹
δ(t)	1
δ(t-a)	e^(-as)
e^(-at)u₀(t)	1/(s+a)
te^(-at)u₀(t)	1/(s+a)²
tⁿe^(-at)u₀(t)	n!/(s+a)ⁿ⁺¹

逆拉普拉斯变换与部分分式展开

第3章专门讲部分分式展开法（Partial Fraction Expansion）——求逆变换的核心工具：

F(s) 分解为：F(s) = r₁/(s-p₁) + r₂/(s-p₂) + … + rₙ/(s-pₙ)
rᵢ 称为留数（residue），pᵢ 称为极点（pole）
适用情况：单极点、共轭复极点、重极点、混合情况
假分式（分子阶数 ≥ 分母）：先做多项式长除法
MATLAB 工具：residue(a,b) 直接求留数和极点

第4章：拉普拉斯变换电路分析

s 域电路模型

将时域电路元件变换到 s 域：

元件	时域	复阻抗 Z(s)	复导纳 Y(s)
电阻 R	v = Ri	R	G = 1/R
电感 L	v = L di/dt	sL	1/(sL)
电容 C	i = C dv/dt	1/(sC)	sC

RLC 串联电路输入阻抗：Z(s) = R + sL + 1/(sC)
GLC 并联电路输入导纳：Y(s) = G + 1/(sL) + sC

传递函数（Transfer Function）

零状态下，输出电压与输入电压之比：

G(s) = V_out(s) / V_in(s)
传递函数完全由电路结构和元件参数决定，与激励无关

核心思想：拉普拉斯变换把时域的微积分方程转化为 s 域的代数方程，大幅简化电路分析。

第5章：状态变量与状态方程

基本思想

一个 n 阶微分方程可以拆解为 n 个一阶联立微分方程
辅助变量称为状态变量（state variables），方程组称为状态方程
状态变量可以从微分方程得到，也可以直接从电路中选取（电感电流 + 电容电压）

标准形式

ẋ = Ax + bu    （状态方程）
y = Cx + du    （输出方程）

其中：

A：系统矩阵（n×n）
b：输入矩阵（n×1）
C：输出矩阵（1×n）
d：直接传输项（标量）

状态方程的解

标量情况：ẋ = αx + βu，解为 x(t) = e^(α(t-t₀))x₀ + e^(αt)∫e
矩阵情况：x(t) = e^(A(t-t₀))x₀ + e^(At)∫e
e^(At) 称为状态转移矩阵（State Transition Matrix）

特征值与 Cayley-Hamilton 定理

矩阵 A 的特征值 λᵢ 是特征方程 det[A - λI] = 0 的根
Cayley-Hamilton 定理：矩阵满足其自身的特征方程
利用该定理，e^(At) 可表示为 A 的 (n-1) 次多项式： e^(At) = a₀I + a₁A + a₂A² + … + aₙ₋₁Aⁿ⁻¹
系数 aᵢ 由特征值确定

状态变量法的优势

不仅适用于线性时不变系统，也适用于非线性和时变系统
是现代控制理论的基础语言
MATLAB 工具：eig(A) 求特征值

第6章：冲激响应与卷积

冲激响应（Impulse Response）

定义：输入为 δ(t) 时系统的输出（零初始条件）
记为 h(t)——完全刻画了线性时不变（LTI）系统的特性

奇偶函数性质

偶函数：f(-t) = f(t)
奇函数：-f(-t) = f(t)
偶 × 偶 = 偶，奇 × 奇 = 偶，偶 × 奇 = 奇
任意函数可分解为：f(t) = f_e(t) + f_o(t)
- f_e(t) = [f(t) + f(-t)] / 2（偶部）
- f_o(t) = [f(t) - f(-t)] / 2（奇部）
δ函数是偶函数

卷积积分（Convolution Integral）

定义：

f₁(t) * f₂(t) = ∫f₁(τ)f₂(t-τ)dτ（-∞到+∞）

核心意义：知道了系统的冲激响应 h(t)，就能通过卷积求出对任意输入 u(t) 的响应：

y(t) = u(t) * h(t)

图解法求卷积

卷积的图形评估方法（翻转→平移→相乘→积分）是理解卷积最直观的方式：

将 h(τ) 沿纵轴翻转得到 h(-τ)
平移 t 得到 h(t-τ)
与 u(τ) 相乘
乘积曲线下的面积就是卷积在时刻 t 的值

卷积定理：时域卷积 ⇔ s 域乘积。这是拉普拉斯变换能简化系统分析的根本原因。

第7章：傅里叶级数（Fourier Series）

三角形式傅里叶级数

任何周期信号 f(t) 都可以分解为：

f(t) = a₀/2 + Σ(aₙcos nωt + bₙsin nωt)  （n = 1, 2, 3, ...）

其中：

a₀/2 是直流分量
n=1 项是基波分量（频率 ω）
n≥2 项是各次谐波
系数由积分公式计算

对称性的利用

对称类型	级数特点
奇函数	只有正弦项（bₙ），无直流
偶函数	只有余弦项（aₙ），可能有直流
半波对称	只有奇次谐波（奇cos + 奇sin）

半波对称条件：-f(t + T/2) = f(t)

常见波形的傅里叶级数

波形	级数形式
方波（奇对称）	(4A/π)Σ(1/n)sin nωt，n为奇数
方波（偶对称）	(4A/π)Σ(-1)^((n-1)/2)(1/n)cos nωt，n为奇数
锯齿波（奇对称）	(2A/π)Σ(-1)^(n-1)(1/n)sin nωt
三角波（奇对称）	(8A/π²)Σ(-1)^((n-1)/2)(1/n²)sin nωt，n为奇数
半波整流	A/π + A/2 sint - (2A/π)Σ(cos nωt)/(n²-1)，n为偶数
全波整流（偶对称）	2A/π - (4A/π)Σ(cos nωt)/(n²-1)，n为偶数

Gibbs 现象

用有限项傅里叶级数逼近不连续信号时，在间断点附近会出现过冲（overshoot），约为跳变值的 9%。即使项数增加，过冲幅度也不会减小——这就是 Gibbs 现象。

指数形式傅里叶级数

f(t) = Σ Cₙ e^(jnωt)  （n = -∞ 到 +∞）

Cₙ 一般为复数，与三角形式的关系：

C₀ = a₀/2
Cₙ = (aₙ - jbₙ)/2（n>0）
C₋ₙ = Cₙ*（共轭对称）

谱线与功率计算

线谱（Line Spectra）：幅度谱 |Cₙ| vs 频率，相位谱 ∠Cₙ vs 频率
RMS 值：从傅里叶系数计算：F_rms² = (a₀/2)² + (1/2)Σ(aₙ² + bₙ²)
平均功率：P = (1/2)ΣVₙIₙcos(θ_vₙ - θ_iₙ)

第8章：傅里叶变换（The Fourier Transform）

定义

正变换：F(ω) = ∫f(t)e
逆变换：f(t) = (1/2π)∫F(ω)e
记号：ℱ{f(t)} = F(ω)，ℱ⁻¹{F(ω)} = f(t)

奇偶对称性

f(t)	F(ω)
实函数	一般为复函数
实偶函数	实偶函数
实奇函数	虚奇函数
虚函数	一般为复函数
虚偶函数	虚偶函数
虚奇函数	实奇函数

实信号满足：F(-ω) = F*(ω)（共轭对称）

核心性质

性质	时域	频域
线性	a₁f₁(t) + a₂f₂(t)	a₁F₁(ω) + a₂F₂(ω)
对称性	F(t)	2πf(-ω)
尺度变换	f(at)	(1/
时移	f(t-t₀)	F(ω)e^(-jωt₀)
频移	e^(jω₀t)f(t)	F(ω-ω₀)
调制定理	f(t)cos ω₀t	[F(ω-ω₀) + F(ω+ω₀)]/2
调制定理（sin）	f(t)sin ω₀t	[F(ω-ω₀) - F(ω+ω₀)]/j2
时域微分	dⁿf(t)/dtⁿ	(jω)ⁿF(ω)
频域微分	(-jt)ⁿf(t)	dⁿF(ω)/dωⁿ
时域积分	∫f(τ)dτ（-∞到t）	F(ω)/(jω) + πF(0)δ(ω)
时域卷积	f₁(t) * f₂(t)	F₁(ω)·F₂(ω)
频域卷积	f₁(t)·f₂(t)	(1/2π)F₁(ω) * F₂(ω)

两个重要关系

面积关系：时域函数曲线下的面积 = 傅里叶变换在 ω=0 处的值 ∫f(t)dt = F(0)
能量守恒（Parseval 定理）： ∫|f(t)|²dt = (1/2π)∫|F(ω)|²dω

从拉普拉斯变换求傅里叶变换

如果 F(s) 的所有极点都在 s 平面左半平面（因果稳定系统），则：

F(ω) = F(s) |_{s=jω}

系统函数 H(ω)

定义：H(ω) = Y(ω)/X(ω)（输出傅里叶变换 / 输入傅里叶变换）
等于冲激响应的傅里叶变换：H(ω) = ℱ{h(t)}
|H(ω)| 是幅频响应，∠H(ω) 是相频响应

第9章：离散时间系统与 Z 变换

Z 变换的地位

Z 变换之于离散时间信号，如同拉普拉斯变换之于连续时间信号——是分析离散系统的核心数学工具。

定义

单边 Z 变换：F(z) = Σf[n]z^(-n)（n = 0 到 +∞）
记号：F(z) = 𝒵{f[n]}
逆 Z 变换：f[n] = (1/j2π)∮F(z)z

核心性质

性质	时域	z 域
线性	af₁[n] + bf₂[n]	aF₁(z) + bF₂(z)
右移（因果序列）	f[n-m]u₀[n-m]	z^(-m)F(z)
右移（一般情况）	f[n-m]	z^(-m)F(z) + Σf[n-m]z^(-n)（n=0到m-1）
左移	f[n+m]	z^mF(z) - Σf[n+m]z^(-n)（n=-m到-1）
指数加权	aⁿf[n]	F(z/a)
指数衰减	e^(-naT)f[n]	F(e^(aT)z)
线性加权	n·f[n]	-z dF(z)/dz

常用 Z 变换对

f[n]	F(z)
δ[n]	1
u₀[n]（单位阶跃）	z/(z-1)
aⁿu₀[n]	z/(z-a)
n·aⁿu₀[n]	az/(z-a)²
n²aⁿu₀[n]	az(z+a)/(z-a)³
cos(nωT)u₀[n]	z(z-cosωT)/(z²-2z cosωT + 1)
sin(nωT)u₀[n]	z sinωT/(z²-2z cosωT + 1)

s 域与 z 域的映射

映射关系：z = e
s 平面左半平面 → z 平面单位圆内（稳定 ↔ 稳定）
s 平面虚轴 → z 平面单位圆
s 平面右半平面 → z 平面单位圆外

离散系统传递函数

H(z) = Y(z)/X(z) = 输出Z变换 / 输入Z变换
等于单位冲激响应的 Z 变换：H(z) = 𝒵{h[n]}
稳定性判据：所有极点都在 z 平面单位圆内

离散状态方程

x[n+1] = Ax[n] + bu[n]
y[n] = Cx[n] + du[n]

形式上与连续时间状态方程类似，只是微分变成了差分。

第10章：DFT 与 FFT 算法

DFT（离散傅里叶变换）定义

N 点 DFT：

X[m] = Σx[n]e^(-j2πmn/N)  （n = 0 到 N-1，m = 0,1,...,N-1）

逆 DFT：

x[n] = (1/N)ΣX[m]e^(j2πmn/N)  （m = 0 到 N-1，n = 0,1,...,N-1）

W_N = e^(-j2π/N) 称为旋转因子（twiddle factor）
X[m] 一般为复数：实部 + 虚部

DFT 的奇偶性质

x[n] 为实序列 → X[m] 共轭对称：X[N-m] = X*[m]
x[n] 为实偶序列 → X[m] 为实偶序列
x[n] 为实奇序列 → X[m] 为虚奇序列

采样定理（Sampling Theorem）

若连续信号的最高频率为 f_max，则采样频率 f_s 必须满足 f_s > 2f_max，才能从采样信号中无失真地恢复原始信号。

2f_max 称为奈奎斯特频率（Nyquist frequency）
不满足时会发生混叠（aliasing）——高频成分折叠到低频

FFT（快速傅里叶变换）

直接计算 N 点 DFT 需要约 N² 次复数乘法
FFT 算法利用旋转因子的对称性和周期性，将复杂度降至 N·log₂N
当 N = 1024 时，直接计算需要约 100 万次乘法，FFT 只需约 1 万次——100 倍加速

FFT 的两类算法

按时间抽取（DIT, Decimation-In-Time）：按输入序列下标的奇偶分组
按频率抽取（DIF, Decimation-In-Frequency）：按输出序列下标的奇偶分组

蝶形运算（Butterfly）

FFT 的基本运算单元。每级包含 N/2 个蝶形，共 log₂N 级。

输入/输出排序问题：
- 位反转序输入，自然序输出（shuffled input, natural output）
- 自然序输入，位反转序输出
- 自然序输入，自然序输出（需要额外内存或重排）

MATLAB 工具

fft(x)：计算 DFT
ifft(x)：计算逆 DFT

第11章：模拟与数字滤波器

滤波器分类

按频率响应分

类型	功能
低通（Low-Pass）	通过低频，衰减高频
高通（High-Pass）	通过高频，衰减低频
带通（Band-Pass）	通过某一频段
带阻（Band-Elimination/Stop）	衰减某一频段
全通（All-Pass）	幅度不变，只改变相位

按实现方式分

模拟滤波器：RLC 无源 / 运放有源
数字滤波器：算法实现，分两类：
- IIR（无限冲激响应）：h[n] 无限长，有反馈环路
- FIR（有限冲激响应）：h[n] 有限长，无反馈，可做线性相位

模拟低通滤波器原型

低通是基础——高通、带通、带阻都可以通过频率变换从低通原型得到。

1. Butterworth（巴特沃斯）滤波器

特点：通带内幅度响应最平坦（maximally flat）
幅频平方函数：A²(ω) = 1 / [(ω/ω_C)^(2k) + 1]
极点分布：在 s 平面左半平面，均匀分布在半径为 ω_C 的圆上
阶数 k 越高，过渡带越陡

2. Chebyshev Type I（切比雪夫I型）

特点：通带内有等波纹（ripple），过渡带更陡
基于 Chebyshev 多项式 C_k(x)
通带纹波 Rp 越小，性能越接近 Butterworth；纹波越大，过渡带越陡

3. Chebyshev Type II（切比雪夫II型 / 逆切比雪夫）

特点：通带平坦，阻带内有等波纹
与 I 型互补：I 型在通带内波纹，II 型在阻带内波纹
ω_C 定义阻带的起始频率

4. Elliptic / Cauer（椭圆滤波器）

特点：通带和阻带都有等波纹，过渡带最陡（同阶数下性能最优）
基于椭圆函数和椭圆积分
相同性能指标下，椭圆滤波器所需阶数最低

四种模拟滤波器对比

类型	通带	阻带	过渡带陡度	相位线性度
Butterworth	最平坦	单调	一般	较好
Chebyshev I	等波纹	单调	较陡	较差
Chebyshev II	平坦	等波纹	较陡	中等
Elliptic	等波纹	等波纹	最陡	最差

频率变换

从低通原型变换到其他类型：

变换类型	MATLAB 函数
低通 → 低通（不同截止）	`lp2lp`
低通 → 高通	`lp2hp`
低通 → 带通	`lp2bp`
低通 → 带阻	`lp2bs`

数字滤波器

IIR 滤波器设计：通常先设计模拟原型，再通过双线性变换等方法映射到数字域
FIR 滤波器设计：窗函数法、频率采样法等
FIR 的优势：可以做到严格线性相位，且一定稳定
IIR 的优势：相同性能下阶数更低，计算量更小

MATLAB 滤波器设计工具

函数	用途
`buttap(N)`	N 阶归一化 Butterworth 低通原型（零极点增益形式）
`cheb1ap(N,Rp)`	N 阶 Chebyshev I 型低通原型
`ellip(N,Rp,Rs,Wn,'s')`	椭圆模拟低通滤波器
`zp2tf`	零极点 → 传递函数
`lp2lp / lp2hp / lp2bp / lp2bs`	频率变换
`bode(num,den)`	绘制幅频/相频响应

附录概览

附录 A：MATLAB 入门

命令窗口、多项式求根、多项式构造与求值
有理多项式、绘图（含子图）
脚本文件与函数文件、显示格式

附录 B：复数复习

定义、加减乘除、指数形式与极坐标形式

附录 C：矩阵与行列式

矩阵运算、特殊矩阵（单位/对角/三角/对称/反对称）
行列式、余子式、Cramer 法则、高斯消元
伴随矩阵、逆矩阵、线性方程组求解

关键概念与学习要点

三大变换的关系

连续时间  ──Laplace──→  s 域
   │                      │
   │ 令 s=jω              │ 令 s=jω（稳定条件下）
   ↓                      ↓
连续时间  ──Fourier──→  频域
   │
   │ 采样
   ↓
离散时间  ──Z变换────→  z 域
   │                      │
   │ 令 z=e^(jωT)         │
   ↓                      ↓
离散时间  ──DFT/FFT──→  离散频域

卷积的统一地位

时域：y(t) = x(t) * h(t)（LTI 系统输入输出关系）
变换域：Y(s) = X(s)·H(s) / Y(ω) = X(ω)·H(ω) / Y(z) = X(z)·H(z)
卷积定理是所有变换方法的核心价值所在——把时域的卷积运算转化为变换域的乘法

稳定性判据

系统类型	稳定条件
连续时间 LTI	传递函数所有极点在 s 平面左半平面
离散时间 LTI	传递函数所有极点在 z 平面单位圆内

学习建议

掌握变换对和性质表：这是快速解题的基础
理解卷积的物理意义：图解法是最好的入门
重视对称性：无论傅里叶级数还是 DFT，对称性都能大幅简化计算
MATLAB 实践：教材的最大特色——每章都有 MATLAB 示例，动手验证比死记公式有效
滤波器设计要理解权衡：没有”最好”的滤波器，只有最适合的——Butterworth 相位好、Elliptic 阶数低、Chebyshev 介于两者之间

关联笔记

《算法导论》-Introduction to Algorithms-第3版-CLRS — FFT 算法的理论分析
《深入理解计算机系统》-Computer-Systems-A-Programmer-s-Perspective-第3版-Bryant-O-Hallaron — 计算机系统层面的信号与中断
《结构化计算机组成》-Structured-Computer-Organization-第6版-Tanenbaum — 数字逻辑与计算机组成层面的信号处理

知识库

探索

信号与系统：基于MATLAB应用

信号与系统：基于 MATLAB 应用

全书结构

第1章：基本信号（Elementary Signals）

三类基本信号

δ函数的两个核心性质

高阶冲激（Doublet 等）

第2-3章：拉普拉斯变换（The Laplace Transformation）

定义

核心性质（必须掌握）

常用变换对

逆拉普拉斯变换与部分分式展开

第4章：拉普拉斯变换电路分析

s 域电路模型

传递函数（Transfer Function）

第5章：状态变量与状态方程

基本思想

标准形式

状态方程的解

特征值与 Cayley-Hamilton 定理

状态变量法的优势

第6章：冲激响应与卷积

冲激响应（Impulse Response）

奇偶函数性质

卷积积分（Convolution Integral）

图解法求卷积

第7章：傅里叶级数（Fourier Series）

三角形式傅里叶级数

对称性的利用

常见波形的傅里叶级数

Gibbs 现象

指数形式傅里叶级数

谱线与功率计算

第8章：傅里叶变换（The Fourier Transform）

定义

奇偶对称性

核心性质

两个重要关系

从拉普拉斯变换求傅里叶变换

系统函数 H(ω)

第9章：离散时间系统与 Z 变换

Z 变换的地位

定义

核心性质

常用 Z 变换对

s 域与 z 域的映射

离散系统传递函数

离散状态方程

第10章：DFT 与 FFT 算法

DFT（离散傅里叶变换）定义

DFT 的奇偶性质

采样定理（Sampling Theorem）

FFT（快速傅里叶变换）

FFT 的两类算法

蝶形运算（Butterfly）

MATLAB 工具

第11章：模拟与数字滤波器

滤波器分类

按频率响应分

按实现方式分

模拟低通滤波器原型

1. Butterworth（巴特沃斯）滤波器

2. Chebyshev Type I（切比雪夫I型）

3. Chebyshev Type II（切比雪夫II型 / 逆切比雪夫）

4. Elliptic / Cauer（椭圆滤波器）

四种模拟滤波器对比

频率变换

数字滤波器

MATLAB 滤波器设计工具

附录概览

附录 A：MATLAB 入门

附录 B：复数复习

附录 C：矩阵与行列式

关键概念与学习要点

三大变换的关系

卷积的统一地位

稳定性判据

学习建议