《信号与系统》（Signals and Systems, 2nd Edition）
MIT 两位信号处理泰斗 Alan V. Oppenheim 与 Alan S. Willsky 合著的经典本科教材，Prentice Hall 信号处理系列丛书。第二版在第一版基础上大幅重写与重组，最显著变化是提前引入频域滤波概念，增加例题与习题（600+ 道题），并配套 MATLAB 实验指南。
基本信息
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 作者 | Alan V. Oppenheim（MIT）、Alan S. Willsky（MIT）、S. Hamid Nawab（Boston University） |
| 出版社 | Prentice Hall, 1997（第二版） |
| 页数 | 987 页（正文 + 附录 + 参考书目 + 答案 + 索引） |
| 系列 | Prentice-Hall Signal Processing Series（Oppenheim 主编） |
| 先修要求 | 微积分基础、复数运算、微分方程初步 |
| 中文译名 | 信号与系统（第二版） |
全书架构与核心理念
教学理念：**连续时间与离散时间并行展开
本书最核心的教学方法是将连续时间和离散时间信号与系统并行展开，通过对比两者的相似性共享直觉，通过对比差异性深化对各自独特性质的理解。这一编排方式：
- 相似性：卷积、傅里叶分析、变换域分析在连续与离散域有完美的对称性
- 差异性：离散时间复指数具有 2π 周期性、离散时间频率的高低以 π 为最高频等关键区别
Oppenheim 认为，随着计算机技术的发展，工程师需要同时掌握连续与离散两套方法，因此并行教学法（parallel treatment）是最有效的教学路径。
全书分为**11 章正文 + 部分分式展开附录 + 参考书目 + 习题答案 + 索引，知识体系：
第1部分：基础（信号与系统 + LTI系统）
第2部分：傅里叶分析（第3-6章，连续与离散傅里叶+时域频域特性）
第3部分：应用（采样+通信）
第4部分：变换域方法（拉普拉斯+Z变换）
第5部分：反馈系统
第一部分：信号与系统基础
第 1 章 信号与系统（Signals and Systems）
核心概念引入信号概念
1.1 连续时间与离散时间信号
- 信号的数学表示：连续时间 x(t)，离散时间 x[n]
- 信号能量与功率：
- 连续时间能量 E = ∫|x(t)|²dt，功率 P = lim(T→∞) (1/2T) ∫|x(t)|²dt
- 离散时间能量 E = Σ|x[n]|²，功率 P = lim(N→∞) (1/(2N+1)) Σ|x[n]|²
1.2 自变量变换
- 时移 (time shift)：x(t - t₀)
- 时间反转 (time reversal)：x(-t)
- 时间尺度 (time scaling)：x(at)
- 周期信号：x(t) = x(t + T) 基波周期 T
- 偶信号与奇信号：分解为偶部 + 奇部
1.3 指数与正弦信号
- 连续时间复指数：x(t) = Ce^(at)
- a 为纯虚数时 → 正弦振荡（等幅振荡）
- a 实部非零时 → 增幅/衰减振荡
- 离散时间复指数：x[n] = Cαⁿ = Ce
- 离散时间复指数的周期性（关键差异）：
- e^(j(ω₀+2π)n = e^(jω₀n)，即频率相差 2π 的离散复指数完全相同
- 低频在 ω₀ ≈ 0, ±2π…；高频在 ω₀ ≈ ±π, ±3π…
- e^(jπn) = (-1)ⁿ，振荡最快，每样本翻转一次
- 离散时间复指数为周期信号的条件：ω₀N = 2πm（m/N 为有理数）
1.4 单位冲激与单位阶跃
- 离散时间单位冲激 δ[n] 与单位阶跃 u[n]
- 连续时间单位阶跃 u(t) 与单位冲激 δ(t)
- 冲激函数的筛选性质（sifting property）：∫x(τ)δ(t-τ)dτ = x(t)
1.5 连续与离散时间系统
- 系统互联：串联（级联）、并联、反馈联结
1.6 基本系统性质
| 性质 | 含义 |
|---|---|
| 无记忆性 | 输出只取决于当前输入 |
| 可逆性 | 不同输入产生不同输出，存在逆系统 |
| 因果性 | 输出只取决于当前和过去的输入 |
| 稳定性 | 有界输入产生有界输出（BIBO） |
| 时不变性 | 输入时移 → 输出同时移 |
| 线性 | 满足叠加性 + 齐次性 |
线性 + 时不变 = LTI 系统——本书研究的核心对象。
第 2 章 线性时不变系统（Linear Time-Invariant Systems）
核心思想：用冲激响应完全表征 LTI 系统
2.1 离散时间 LTI 系统：卷积和
- 离散信号的冲激表示：x[n] = Σₖ x[k]δ[n-k]
- 卷积和：y[n] = x[n] * h[n] = Σₖ x[k]h[n-k]
- 单位冲激响应 h[n] 完全表征离散 LTI 系统
2.2 连续时间 LTI 系统：卷积积分
- 连续信号的冲激表示（筛选性质推广）
- 卷积积分：y(t) = x(t) * h(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ
- 单位冲激响应 h(t) 完全表征连续 LTI 系统
2.3 LTI 系统的性质
- 交换律：x * h = h * x
- 分配律：x * (h₁ + h₂) = x * h₁ + x * h₂
- 结合律：(x * h₁) * h₂ = x * (h₁ * h₂)
- 记忆性：h[n] = kδ[n] 则无记忆
- 可逆性：存在 h₁ 使 h * h₁ = δ
- 因果性：h(t) = 0, t < 0（连续）；h[n] = 0, n < 0（离散）
- 稳定性：∫|h(t)|dt < ∞（连续）；Σ|h[n]| < ∞（离散）
- 单位阶跃响应 s(t) / s[n]
2.4 微分/差分方程描述的因果 LTI 系统
- 线性常系数微分方程（连续 LCCDE）
- 线性常系数差分方程（LCCDE）
- 方框图表示：直接 I型、直接 II 型
2.5 奇异函数
- 单位冲激的卷积定义：通过卷积性质定义而非逐点定义更本质
- 单位冲激偶（unit doublet）u₁(t) = dδ/dt
- 高阶奇异函数：冲激的各阶导数
第二部分：傅里叶分析
第 3 章 周期信号的傅里叶级数表示
核心思想：周期信号可以分解为谐波相关复指数的线性组合
3.1 历史视角 傅里叶（Fourier）1807年提出：任何周期函数都可以表示为正弦级数。
3.2 LTI 系统对复指数的响应 复指数是 LTI 系统的特征函数（eigenfunction）：
- 连续：输入 e^(st) → 输出 H(s)e
- 离散：输入 zⁿ → 输出 H(z)zⁿ
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数
- 傅里叶级数系数 aₖ = (1/T) ∫₀ᵀ x(t)e
- 合成公式：x(t) = Σₖ=-∞^∞ aₖ e
- 狄利克雷收敛条件
3.5 连续时间傅里叶级数性质
- 线性、时移、时间反转、时间尺度、相乘、共轭对称、帕斯瓦尔关系（Parseval）
- 一个周期内的能量 = Σ|aₖ|² · T
3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数
- 离散傅里叶级数是有限项（N个系数），这是与连续的关键区别
- aₖ = (1/N) Σₙ=₀^(N-1) x[n]e
- 周期性：aₖ₊N = aₖ
3.7 离散时间傅里叶级数性质
- 相乘、一阶差分、帕斯瓦尔关系
3.8 傅里叶级数与 LTI 系统 频域视角：LTI 系统对每个谐波分量独立作用是乘以 H(jω) = 频率响应
3.9 滤波
- 频率成形滤波（frequency-shaping filters）
- 频率选择滤波（frequency-selective filters）：低通、高通、带通、带阻
3.10 连续时间滤波器示例（微分方程描述）
- RC 低通滤波器
- RC 高通滤波器
3.11 离散时间滤波器示例（差分方程描述）
- 一阶递归离散时间滤波器
- 非递归（FIR）离散时间滤波器
第 4 章 连续时间傅里叶变换
核心思想：非周期信号的傅里叶表示——周期趋于无穷大的极限
4.1 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换
- 从傅里叶变换推导：周期 T→∞，傅里叶级数 → 傅里叶变换
- 正变换：X(jω) = ∫x(t)e
- 逆变换：x(t) = (1/2π) ∫X(jω)e
- 收敛条件：狄利克雷条件推广
4.2 周期信号的傅里叶变换 周期信号的傅里叶变换 = 冲激串：X(jω) = 2πΣₖ aₖ δ(ω - kω₀)
4.3 连续时间傅里叶变换性质
| 性质 | 公式 |
|---|---|
| 线性 | ax(t) + bx₂(t) ↔ aX₁(jω) + bX₂(jω) |
| 时移 | x(t - t₀) ↔ e^(-jωt₀)X(jω) |
| 共轭对称 | x*(t) ↔ X*(-jω) |
| 微分 | dx/dt ↔ jω X(jω) |
| 积分 | ∫_{-∞}^t x(τ)dτ ↔ X(jω)/(jω) + πX(0)δ(ω) |
| 时间/频率尺度 | x(at) ↔ (1/ |
| 对偶性 | X(jt) ↔ 2πx(-ω) |
| 帕斯瓦尔关系 | ∫ |
4.4 卷积性质
- y(t) = x(t) * h(t) ↔ Y(jω) = X(jω)H(jω)
- **时域卷积 = 频域相乘
4.5 相乘性质（调制）
- y(t) = x(t)w(t) ↔ Y(jω) = (1/2π)X(jω) * W(jω)
- 调幅、变频的基础
4.7 线性常系数微分方程描述的系统
- 两边傅里叶变换 → 代数方程 → 频率响应 H(jω)
第 5 章 离散时间傅里叶变换
与连续傅里叶变换的对称与差异
5.1 非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换（DTFT）
- 正变换：X(e^(jω)) = Σₙ=-∞^∞ x[n]e
- 逆变换：x[n] = (1/2π) ∫_{-π}^π X(e^(jω))e
- X(e^(jω)) 是 ω 的周期函数，周期为 2π
5.2 周期信号的傅里叶变换
- 离散周期信号的傅里叶变换 = 冲激串
5.3 离散时间傅里叶变换性质
- 周期性（2π）、线性、时移、频移、共轭对称
- 差分与累加（对应连续的微分与积分）
- 时间反转、时间扩展（插值零值在时间尺度在离散时间中没有直接对应——时间扩展（time expansion）：x_(k)[n] = x[n/k]（n为k的倍数时取x[n/k]，否则0
- 频域微分、帕斯瓦尔关系
5.4 卷积性质
- y[n] = x[n] * h[n] ↔ Y(e^(jω)) = X(e^(jω))H(e
5.5 相乘性质
- 离散时间相乘 ↔ 周期卷积
5.7 对偶性
- 离散时间傅里叶级数的对偶性
- DTFT 与连续时间傅里叶级数之间的对偶关系
5.8 线性常系数差分方程描述的系统
- 两边 DTFT → 频率响应 H(e
第 6 章 信号与系统的时域与频域特性
核心：从幅度-相位表示 + 从时域频域统一视角
6.1 傅里叶变换的幅度-相位表示 X(jω) = |X(jω)| e
6.2 LTI 系统频率响应的幅度-相位表示
- 线性相位与非线性相位
- 群延迟（group delay）：τ(ω) = -d∠H(jω)/dω
- 对数幅度与伯德图（Bode plots）
6.3 理想频率选择滤波器的时域特性
- 理想低通滤波器的冲激响应是 sinc 函数
- 时域展宽 ↔ 频域变窄（不确定性原理的体现）
6.4 非理想滤波器的时域与频域方面
- 过渡带、通带波纹、阻带衰减
- 因果滤波器的限制（佩利-维纳准则）
6.5 一阶与二阶连续时间系统
- 一阶系统：RC、时间常数 τ
- 二阶系统：阻尼比 ζ、自然频率 ωₙ
- 有理频率响应的伯德图绘制
6.6 一阶与二阶离散时间系统
- 一阶离散系统
- 二阶离散系统
6.7 系统时域频域分析实例
- 汽车悬架系统分析
- 离散时间非递归滤波器示例
第三部分：应用
第 7 章 采样（Sampling）
核心：采样定理——连续信号如何用离散样本表示
7.1 采样定理
- 冲激采样：x_p(t) = x(t) · Σδ(t - nT)
- 采样定理（奈奎斯特-香农）：
如果 x(t) 是带限信号，最高频率 ω_M，则当采样频率 ω_s > 2ω_M 时，x(t) 可以由其样本 x(nT) 唯一确定 重构：通过理想低通滤波器
- 零阶保持采样
7.2 内插重构
- 理想内插（sinc 内插）
- 时域内插公式
7.3 欠采样的影响：混叠（Aliasing）
- 当 ω_s < 2ω_M 时发生混叠
- 抗混叠滤波器
7.4 连续时间信号的离散时间处理
- 数字微分器
- 半采样延迟
7.5 离散时间信号的采样
- 离散时间抽取（decimation）：降低采样率
- 离散时间内插（interpolation）：提高采样率
- 多速率信号处理基础
第 8 章 通信系统（Communication Systems）
核心：调制与解调——傅里叶相乘性质的应用
8.1 复指数与正弦幅度调制（AM）
- 复指数载波调幅：频谱搬移
- 正弦载波调幅：DSB-AM，频谱搬移到 ±ω_c 处
8.2 正弦 AM 的解调
- 同步解调（相干解调）
- 异步解调（包络检波）
8.3 频分复用（FDM）
- 不同信号调制到不同载波频率上，在同一信道传输
8.4 单边带正弦调幅（SSB）
- 只传上边带或下边带，节省带宽
8.5 脉冲串载波调幅
- 脉冲幅度调制（PAM）
- 时分复用（TDM）
8.6 脉冲幅度调制
- PAM 信号
- 码间串扰（ISI）
- 数字脉冲幅度与脉冲编码调制（PCM）
8.7 正弦频率调制（FM）
- 窄带 FM（NBFM）
- 宽带 FM（WBFM）
- 卡森公式：FM 带宽 ≈ 2(Δf + f_m)
8.8 离散时间调制
- 离散时间正弦调幅
- 离散时间跨调制（transmodulation）
第四部分：变换域方法
第 9 章 拉普拉斯变换（The Laplace Transform）
**核心：傅里叶变换的推广——s = σ + jω，扩大收敛范围
9.1 拉普拉斯变换
- X(s) = ∫x(t)e
- s = σ + jω，σ > 傅里叶变换是拉普拉斯变换在 σ=0 时的特例
9.2 收敛域（ROC, Region of Convergence）
- ROC 是 s 平面上的带状区域
- 右边信号 ROC 在最右极点右侧
- 左边信号 ROC 在最左极点左侧
- 双边信号 ROC 是带状
- 因果信号 ROC 包含 jω
9.3 逆拉普拉斯变换
- 部分分式展开法（主要方法）
- 各部分分式项 → 对应时间函数
- ROC 决定每一项的逆变换形式
9.4 从零极点图几何求值傅里叶变换
- 一阶系统、二阶系统
- 全通系统：零点与极点关于 jω 轴对称
9.5 拉普拉斯变换性质
- 线性、时移、s 域平移、时间尺度、共轭
- 卷积性质 → 系统函数 H(s)
- 时域微分、s 域微分、时域积分
- 初值定理与终值定理
9.7 用拉普拉斯变换分析与表征 LTI 系统
- 因果性：ROC 在最右极点右侧且包含无穷远点
- 稳定性：ROC 包含 jω 轴
- 微分方程描述的系统 → 有理系统函数
- 系统行为与系统函数的关系
- 巴特沃斯滤波器（Butterworth filters）
9.8 系统函数代数与方框图表示
- 级联、并联、反馈联结的系统函数
- 直接形式、直接 II 形式
9.9 单边拉普拉斯变换
- 处理非零初始条件的微分方程
- 单边变换性质
- 解微分方程
第 10 章 Z 变换（The z-Transform）
离散时间对应拉普拉斯变换
10.1 Z 变换
- X(z) = Σₙ=-∞^∞ x[n]z⁻ⁿ
- z = re
10.2 收敛域（ROC）
- ROC 是 z 平面上的环形区域
- 右边序列 ROC 在最外极点外侧
- 左边序列 ROC 在最内极点内侧
- 双边序列 ROC 是环形
- 因果序列 ROC 包含无穷远点
10.3 逆 Z 变换
- 部分分式展开法
- 长除法（幂级数展开法）
10.4 从零极点图几何求值傅里叶变换
- 一阶系统、二阶系统
10.5 Z 变换性质
- 线性、时移、z 域尺度、时间反转、时间扩展
- 共轭、卷积性质 → 系统函数 H(z)
- z 域微分、初值定理
10.7 用 Z 变换分析与表征 LTI 系统
- 因果性：ROC 在最外极点外侧且包含∞
- 稳定性：ROC 包含单位圆
- 差分方程描述的系统 → 有理系统函数
10.8 系统函数代数与方框图表示
- 直接形式、级联形式、并联形式
10.9 单边 Z 变换
- 处理非零初始条件的差分方程
第五部分：反馈系统
第 11 章 线性反馈系统（Linear Feedback Systems）
核心：反馈——控制系统性能的核心手段
11.1 线性反馈系统基本结构
- 基本反馈回路：前向通路 G(s)，反馈通路 H(s)
- 闭环系统函数：Q(s) = G(s) / (1 + G(s)H(s))
11.2 反馈的应用与后果
- 逆系统设计
- 非理想元件补偿
- 不稳定系统镇定
- 采样数据反馈系统
- 跟踪系统
- 反馈也可能导致不稳定（正反馈、不稳定）
11.3 根轨迹分析（Root-Locus Analysis）
- 闭环极点随增益 K 变化的轨迹
- 基本方程：1 + KG(s)H(s) = 0
- 根轨迹端点：K=0 时在开环极点，|K|→∞ 时在开环零点（或无穷远）
- 角度准则：s₀ 在根轨迹上当且仅当 ∠G(s₀)H(s₀) = ±π 的奇数倍
- 根轨迹性质（绘制规则）
11.4 奈奎斯特稳定性判据（Nyquist Stability Criterion）
- 环绕性质（幅角原理）
- 连续时间 LTI 反馈系统的奈奎斯特判据
- 离散时间 LTI 反馈系统的奈奎斯特判据
11.5 增益裕度与相位裕度
- 增益裕度（GM）：相位为-180° 时增益离 0dB 的距离
- 相位裕度（PM）：增益为 0dB 时相位离 -180° 的距离
- 衡量系统相对稳定性的重要指标
附录：部分分式展开
将有理函数分解为简单项之和
- 一阶实极点、共轭复极点、重极点的展开方法
- 拉普拉斯变换和 Z 变换求逆的核心工具
参考书目
涵盖：信号与系统基础、傅里叶分析、滤波器设计、通信、控制、网络与系统、网络理论、采样理论等方向的经典著作与教材。
关键概念总览
四大变换关系
| 概念 | 连续时间 | 离散时间 |
|---|---|---|
| 基本信号 | δ(t), u(t), e^(st) | δ[n], u[n], zⁿ |
| LTI 表征 | 冲激响应 h(t) | 冲激响应 h[n] |
| 卷积 | 卷积积分 | 卷积和 |
| 周期信号傅里叶表示 | 傅里叶级数（无穷多项） | 傅里叶级数（有限 N 项） |
| 非周期信号傅里叶表示 | 傅里叶变换 X(jω) | 非周期ω |
| 一般变换 | 拉普拉斯变换 X(s) | Z 变换 X(z) |
| 采样定理 | 采样频率 > 2倍最高频率 | 抽取/内插 |
核心变换对
- 时域卷积 ↔ 频域相乘：所有变换的核心性质
- 调制（相乘 ↔ 频域卷积
- 时移 ↔ 频移
- 微分/差分 ↔ 乘以 s / 变量
系统性质判定方法
| 性质 | 连续时间 | 离散时间 |
|---|---|---|
| 因果性 | h(t)=0, t<0 | h[n]=0, n<0 |
| 稳定性 | ∫ | h(t) |
| LTI + 因果 + 微分方程描述 | ROC 最右极点右侧 | ROC 最外极点外侧 |
| LTI + 稳定 | ROC 含 jω 轴 | ROC 含单位圆 |
与其他知识的关联
- 《信号与系统》-基于MATLAB应用-Steven-T-Karris — Karris 版更偏向 MATLAB 实践应用，Oppenheim 版理论更经典更深入
- 《结构化计算机组成》-Structured-Computer-Organization-第6版-Tanenbaum — 计算机硬件底层，信号系统是通信/控制/信号处理方向的基础
- 《深入理解计算机系统》-Computer-Systems-A-Programmer-s-Perspective-第3版-Bryant-O-Hallaron — CSAPP 关注程序员视角的计算机系统，本书关注信号与系统的数学基础
学习建议
- 连续与离散并行对比学习：这是本书的核心教学法，也是最有效的学习路径
- 重视数学推导：傅里叶分析、变换域方法都需要扎实的数学基础
- 多做习题：全书 600+ 道习题，从基础到高级到扩展，循序渐进
- 结合 MATLAB 实践：配套 MATLAB 实验指南（Explorations in Signals and Systems Using MATLAB）
- 把握四条主线：时域（卷积）→ 傅里叶域（频率响应）→ 变换域（拉普拉斯/Z）→ 应用（采样/通信/反馈）