数据模型与决策 - 第3-4章笔记
来源: 《数据模型与决策》电子版教材 章节: 第3章 线性规划的灵敏度分析、第4章 线性规划的应用 页数: 32页 上传人: 田浩然 课程编号: 0A802
第3章 线性规划的灵敏度分析
3.1 目标函数系数的变化范围
单个系数变换（Par公司案例）
Max P = 10S + 9D 约束：
- S + D ≤ 630（切割印染）
- S + D ≤ 600（缝合）
- S + D ≤ 708（成型）
- S + D ≤ 135（检验包装）
- S, D ≥ 0
最优解：S* = 540, D* = 252
系数CS的允许范围：9 ≤ CS ≤ 14 系数CD的允许范围：6.67 ≤ CD ≤ 14.29
多个系数同时变换（百分之百定理）
如果所有变换的目标函数系数的可行增加和可行减少的百分率的绝对值之和 ≤ 1，则最优解不变。
案例计算：
- CS = 11.5, CD = 8.25 → 最优解不变（0.136 < 1）
- CS = 12.5, CD = 8.25 → 最优解变化（-1.515 < -3/2）
关键概念：可行增加与可行减少
- 可行增加 = 允许变换范围上限 - 当前值
- 可行减少 = 当前值 - 允许变换范围下限
3.2 约束条件右边值的变化
对偶价格（Dual Price）
- 对偶价格 = 目标函数值对右边系数的偏导数
- 最大化问题：对偶价格 = 影子价格
- 最小化问题：对偶价格 = -影子价格
例子：Par公司 b₁从630→640
新最优解：S’ = 527.5, D’ = 270.75 利润变化：P’ = 7711.75
对偶价格 = (7711.75 - 7668) / 10 = 4.375
M&D公司案例（最小化问题）
Min C = 2A + 3B b₂从350→360时：A=240, B=120, C=840 对偶价格 = -(840 - 800) / 10 = -4
百分之百定理（b_i变化）
如果所有变化的b_i的可行增加和可行减少的百分率的绝对值之和 ≤ 1，则对偶价格不变。
案例分析：Par公司问题修改
增加新品种：小型袋
- 切割印染：0.8h
- 缝合：1h
- 成型：1h
- 检验包装：0.25h
- 利润：12.85元
新最优解：
- S = 280件
- D = 0件
- L = 428件
- 总利润：8299.80元
检验数（Reduced Costs）解释
高档袋利润增至10.15003时，D才会进入解：
- S = 403.78
- D = 222.81
- L = 155.67
调整人员安排建议
增加成型和检验包装能力，减少切割印染和缝合能力。
第4章 线性规划的应用
4.1 媒体选择问题
背景：休闲享受发展公司广告预算分配
| 媒体 | 受众人数 | 售价(百元) | 可用次数 | 宣传质量 |
|---|---|---|---|---|
| DTV白天电视 | 1000 | 15 | 15 | 65 |
| ETV晚间电视 | 2000 | 30 | 10 | 90 |
| DN日报 | 1500 | 4 | 25 | 40 |
| SN周日新闻 | 2500 | 10 | 4 | 60 |
| R电台新闻 | 300 | 1 | 30 | 20 |
约束：
- 月预算3万元
- 电视不少于10次
- 受众不少于5万人
- 电视广告费用不超过1.8万元
目标：质量最好
4.2 财务计划问题
背景：68位雇员提前退休，公司需8年支付补偿金
| 年份 | 支付额(千元) |
|---|---|
| 1 | 430 |
| 2 | 210 |
| 3 | 222 |
| 4 | 231 |
| 5 | 240 |
| 6 | 195 |
| 7 | 225 |
| 8 | 255 |
投资选择：
- 债卷1：价格1150元，年利率8.875%，期限5年
- 债卷2：价格1000元，年利率5.5%，期限6年
- 债卷3：价格1350元，年利率11.75%，期限7年
- 储蓄：一年期，年利率4%
目标：最小化初始设立基金总额F
4.3 生产计划问题
背景：电子公司两种组件四~六月生产储存计划
| 组件 | 成本(元/件) | 四月需求 | 五月需求 | 六月需求 |
|---|---|---|---|---|
| 322A | 1000 | 3000 | 5000 | - |
| 802B | 1000 | 500 | 3000 | - |
约束：
- 机器能力：四月400h、五月500h、六月600h
- 劳动力：每月300h
- 库存能力：每月10000ft³
成本参数：
- 库存成本：322A为0.3元/件·月，802B为0.15元/件·月
- 产量波动成本：增长0.5元/件，下降0.2元/件
初始状态：三月产量2500件，月底库存322A=500件、802B=200件 终态要求：六月底库存322A≥400件、802B≥200件
4.5 数据包络分析（DEA）
概念：应用线性规划评价同类型单位工作相对有效性的方法
Pareto最优：在保证不减少产出的条件下，不可能减少一个投入而其他投入不变。
案例：银行4个分理处绩效评估
| 分理处 | 职员数 | 面积(ft²) | 储蓄(笔/月) | 贷款(笔/月) | 中间业务(笔/月) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 15 | 140 | 1800 | 200 | 1600 |
| 2 | 20 | 130 | 1000 | 350 | 1000 |
| 3 | 21 | 120 | 800 | 450 | 1300 |
| 4 | 20 | 135 | 900 | 420 | 1500 |
结果：
- 分理处1, 3, 4：有效（E=1）
- 分理处2：无效（E=0.966）
- 有效权重：λ₁=0.28, λ₃=0.72
作业题
- ch3: 13, 14
- ch4: 8, 18
案例问题3：投资组合选择
背景：Advisors投资公司管理投资项目
投资选项：
- 美国石油(U)：年回报每股3美元，价格25美元，最大风险0.5/股
- 哈泊钢铁(H)：年回报每股5美元，价格50美元，最大风险0.25/股
约束：
- 总投资：80,000美元
- 最大风险系数：700
- 美国石油最大买入量：1000股
线性规划模型：
- 目标：Max 3U + 5H（最大化总年收益）
- 约束：
- 25U + 50H ≤ 80,000（资金约束）
- 0.5U + 0.25H ≤ 700（风险约束）
- U ≤ 1,000（最大买入量）
- U, H ≥ 0
求解结果：
- U = 800股，H = 1200股
- 总收益：8,400美元/年
- 有效约束：资金约束、风险约束
对偶价格解释：
- 资金约束对偶价格：0.093（每增加1美元投资，收益增加0.093美元）
- 风险约束对偶价格：1.333（每增加1单位风险容量，收益增加1.333美元）
系数变化范围：
- U的回报率范围：2.5 ~ 10.0
- H的回报率范围：1.5 ~ 6.0
- 资金容量范围：65,000 ~ 140,000
- 风险容量范围：400 ~ 775
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