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第3章 关系模型

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第3章 关系模型

课程：《数据库设计与实践》（0A102） 章节：第3章 关系模型 来源：chap03 关系模型.ppt（4.71MB，PowerPoint 97-2003 图片型格式） 状态说明：PPT为图形化矢量图格式，文本层提取有限（仅获得 E.F.Codd、TABLE、笛卡尔积、n-tuple 元组、TEACH(T,S,C) 关系示例、SQL Server 等关键词）。本篇笔记基于关系模型标准知识体系 + 课程框架整理，核心概念和结构与授课内容一致，具体案例和图示细节为推测，以实际课堂为准。

一、关系模型概述

1.1 关系模型的诞生

关系模型（Relational Model）由 E.F.Codd（埃德加·科德）于 1970 年在 IBM 研究实验室发表的经典论文 《A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks》 中正式提出。

引用开篇：E.F. Codd 的这篇论文奠定了现代数据库的理论基础，使数据库从”导航式”（层次/网状）进入了”非过程化”的关系时代。

在此之前，数据库主要使用：

  • 层次模型（Hierarchical Model）：IBM IMS，树形结构
  • 网状模型（Network Model）：CODASYL DBTG，图结构

关系模型的革命性在于：用数学上的”关系”（二维表）来统一表示数据及其联系，用户只需声明”要什么”，而不必关心”怎么找”。

1.2 为什么叫”关系”

在日常语言中，“关系”容易被误解为”表与表之间的联系”。在数学上，关系 = 笛卡尔积的子集。

开篇词引用（推测对应PPT开头爱因斯坦式引言）： “If a little knowledge is dangerous, where is the man who has so much as to be out of danger?” — Thomas Henry Huxley （知识少是危险的，但知识多到脱离危险的人又在哪里呢？——意指数据库设计需要深厚的理论功底。）

1.3 关系模型的三大要素

  1. 数据结构：关系（二维表）——所有数据都用关系来表示
  2. 数据操作：关系代数 + 关系演算——基于集合的非过程化操作
  3. 完整性约束：实体完整性、参照完整性、用户自定义完整性

二、基本概念

2.1 域（Domain）

域是一组具有相同数据类型的值的集合，是属性的取值范围。

例如：

  • 姓名域：所有合法姓名字符串的集合
  • 年龄域：0 ~ 150 的整数集合
  • 性别域：{男, 女}

域中元素的个数称为域的基数（Cardinality）。

2.2 笛卡尔积（Cartesian Product）

给定一组域 D₁, D₂, …, Dₙ，它们的笛卡尔积为：

D₁ × D₂ × ... × Dₙ = { (d₁, d₂, ..., dₙ) | dᵢ ∈ Dᵢ, i=1,2,...,n }
  • 每一个元素 (d₁, d₂, …, dₙ) 称为一个 n 元组（n-tuple），简称元组
  • 元组中的每一个 dᵢ 称为一个分量（Component）
  • 笛卡尔积的基数 = 各域基数的乘积：|D₁| × |D₂| × … × |Dₙ|

示例：

  • D₁（教师集合）= {t₁, t₂}
  • D₂（学生集合）= {s₁, s₂}
  • D₃（课程集合）= {c₁}
  • D₁ × D₂ × D₃ = { (t₁,s₁,c₁), (t₁,s₂,c₁), (t₂,s₁,c₁), (t₂,s₂,c₁) }
  • 基数 = 2 × 2 × 1 = 4

2.3 关系（Relation）

关系是笛卡尔积的子集，记为 R(D₁, D₂, …, Dₙ)。

R(D₁, D₂, ..., Dₙ) ⊆ D₁ × D₂ × ... × Dₙ
  • R 是关系名
  • n 是关系的目或度（Degree / Arity）
  • 关系中的每个元素是一个元组（Tuple），常用 t 表示
  • 关系中的列称为属性（Attribute），属性名必须唯一
  • 属性对应的域称为属性的值域

示例：TEACH(T, S, C) 关系

TEACH = { (t₁, s₁, c₁), (t₁, s₂, c₁) }

表示”教师 t₁ 教学生 s₁ 和 s₂ 的课程 c₁”。

注意：关系是笛卡尔积的子集，不是全部。笛卡尔积中只有有意义的元组才构成关系。

2.4 关系的性质

  1. 列是同质的：每一列中的分量来自同一个域
  2. 不同的列可出自同一个域：如”出生年份”和”入学年份”可同属年份域，但属性名必须不同
  3. 列的顺序无所谓：列的次序可以任意交换
  4. 任意两个元组不能完全相同：关系是集合，不允许重复元组
  5. 行的顺序无所谓：元组的次序可以任意交换
  6. 分量必须取原子值：每一个分量都必须是不可分的数据项（第一范式 1NF）

第6条是关系模型的核心约束之一：不允许”表中有表”。这是关系模型与非关系模型（如层次模型、面向对象模型）的重要区别。

2.5 关系模式（Relation Schema）

关系模式是关系的型（结构描述），关系是关系模式在某一时刻的值（具体数据）。

关系模式可表示为：R(U, D, DOM, F)

  • R：关系名
  • U：属性集合 {A₁, A₂, …, Aₙ}
  • D：属性所来自的域
  • DOM：属性到域的映射
  • F：属性间的数据依赖关系（函数依赖等）

通常简记为：R(A₁, A₂, …, Aₙ)

关系模式是稳定的，关系是随时间变化的（元组的插入、删除、修改）。

三、键（Key）

3.1 候选键（Candidate Key）

若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，而其子集不能，则称该属性组为候选键。

  • 候选键可以由单个属性构成（最简单的情况）
  • 也可以由多个属性共同构成（复合键）
  • 一个关系可以有多个候选键

3.2 主键（Primary Key）

若一个关系有多个候选键，则选定其中一个作为主键。

主键的特点：

  • 唯一性：主键值不能重复
  • 非空性：主键属性不能取空值（NULL）
  • 稳定性：主键值一般不修改

3.3 主属性与非主属性

  • 主属性（Prime Attribute）：包含在任何一个候选键中的属性
  • 非主属性（Non-prime Attribute）：不包含在任何候选键中的属性

3.4 外键（Foreign Key）

设 F 是关系 R 的一个或一组属性，但不是关系 R 的键。如果 F 与关系 S 的主键 K 相对应，则称 F 是关系 R 的外键。

  • R 称为参照关系（Referencing Relation）
  • S 称为被参照关系（Referenced Relation）

外键是关系与关系之间联系的纽带。参照关系中的外键值必须存在于被参照关系的主键中（或为空），这就是参照完整性。

四、关系模型的完整性约束

4.1 实体完整性（Entity Integrity）

规则：若属性 A 是基本关系 R 的主属性，则属性 A 不能取空值。

  • 主键中的每一个主属性都不能取空值
  • 不仅仅是主键整体非空，而是每个主属性都非空
  • 空值（NULL）表示”不知道”或”不存在”或”无意义”

原因：

  • 主键是唯一标识元组的
  • 如果主键可取空值，就意味着存在不可标识的元组
  • 这与实体的定义矛盾

4.2 参照完整性（Referential Integrity）

规则：若属性（或属性组）F 是关系 R 的外键，它与关系 S 的主键 K 相对应，则对于 R 中每个元组在 F 上的值必须：

  1. 或者取空值（F 的每个属性值均为空值）
  2. 或者等于 S 中某个元组的主键值

外键的值不允许参照不存在的主键值。

什么时候外键可以为空？

  • 取决于外键是否参与构成参照关系的主键
  • 如果外键是参照关系主键的一部分 → 不能为空（实体完整性约束）
  • 如果外键不是参照关系主键的一部分 → 可以为空

4.3 用户自定义完整性（User-defined Integrity）

针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求。

例如：

  • 成绩必须在 0 ~ 100 之间
  • 性别只能是”男”或”女”
  • 身份证号必须是 18 位
  • 邮箱格式必须合法

DBMS 提供定义和检验这类完整性的机制，如 CHECK 约束、触发器等。

五、关系代数

关系代数是一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询。运算对象是关系，运算结果也是关系。

5.1 五大基本运算

  1. 选择（Selection）：σ —— 水平方向选元组
  2. 投影（Projection）：π —— 垂直方向选属性
  3. 并（Union）：∪ —— 两个关系的合并
  4. 差（Difference）：− —— 从一个关系中去掉另一个关系的元组
  5. 笛卡尔积（Cartesian Product）：× —— 两个关系的元组拼接

这五种运算构成了关系代数的完备集——其他运算都可以用这五种基本运算来表示。

5.2 选择（Selection）

σ_condition(R)

在关系 R 中选择满足给定条件的诸元组。

示例：查询年龄大于 20 的学生

σ_age > 20(Student)

选择是从行的角度进行的运算。

5.3 投影（Projection）

π_A1, A2, ..., An(R)

从关系 R 中选出若干属性列组成新的关系。

示例：查询学生的姓名和所在系

π_Sname, Sdept(Student)

投影是从列的角度进行的运算。

注意：投影后可能出现重复行，关系自动去重（因为关系是集合）。

5.4 并（Union）

R ∪ S

R 和 S 必须满足：

  • 目数相同（属性个数相同）
  • 对应的属性域相同（并相容性）
R ∪ S = { t | t ∈ R ∨ t ∈ S }

5.5 差（Difference）

R − S

属于 R 但不属于 S 的元组集合。同样需要并相容性。

R − S = { t | t ∈ R ∧ t ∉ S }

5.6 笛卡尔积（Cartesian Product）

R × S

R 的每个元组与 S 的每个元组拼接，构成新关系的元组。

  • 结果关系的目数 = R 的目数 + S 的目数
  • 结果关系的元组数 = |R| × |S|
R × S = { t_r ⌒ t_s | t_r ∈ R ∧ t_s ∈ S }

⌒ 表示元组的拼接（Concatenation）。

5.7 其他重要运算

（1）交（Intersection）—— ∩

R ∩ S = R − (R − S)

可用差运算表示，不是基本运算。

（2）连接（Join）—— ⋈

从笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。

R ⋈_AθB S = σ_AθB(R × S)

最常用的是等值连接（θ 为 =）和自然连接（特殊的等值连接，去掉重复属性列）。

自然连接：R ⋈ S

  • 在 R 和 S 的公共属性上做等值连接
  • 结果中去掉重复的属性列
  • 是最常用的连接操作

（3）除（Division）—— ÷

用于表达”全称量词”或”所有的”这类查询。

例如：查询选修了全部课程的学生姓名。

π_Sname(Student ⋈ (π_Sno, Cno(SC) ÷ π_Cno(Course)))

六、关系演算

关系演算是以数理逻辑中的谓词演算为基础的查询语言。

6.1 元组关系演算

以元组为变量，用谓词公式表示查询条件。

一般形式：

{ t | P(t) }

表示”使谓词 P 为真的元组 t 的集合”。

示例：查询计算机系的学生

{ t | Student(t) ∧ t.Sdept = 'CS' }

6.2 域关系演算

以域为变量（属性列），用谓词公式表示查询。

示例：查询计算机系学生的姓名

{ <Sname> | ∃Sno, Ssex, Sage, Sdept (Student(<Sno, Sname, Ssex, Sage, Sdept>) ∧ Sdept = 'CS') }

6.3 关系代数与关系演算的等价性

E.F.Codd 证明了：安全的元组关系演算表达式与关系代数表达式是等价的。

这意味着：任何能用关系代数表达的查询，都能用关系演算表达，反之亦然。

七、SQL 与关系模型

7.1 SQL 的地位

SQL（Structured Query Language）是关系数据库的标准语言，介于关系代数和关系演算之间，兼具两者的特点。

PPT 中出现了 SQL Server 关键词，说明课程会结合 SQL Server 来演示 SQL 的使用。

7.2 SQL 的组成

  1. 数据定义语言（DDL）：CREATE / ALTER / DROP
  2. 数据操纵语言（DML）：SELECT / INSERT / UPDATE / DELETE
  3. 数据控制语言（DCL）：GRANT / REVOKE
  4. 嵌入式 SQL：嵌入在宿主语言中使用

7.3 SELECT 与关系代数

SQL 的 SELECT 语句本质上是关系代数的语法糖：

SELECT A1, A2, ...        -- 投影 π
FROM R1, R2, ...          -- 笛卡尔积 ×
WHERE condition           -- 选择 σ
GROUP BY ...              -- 分组
HAVING ...                -- 分组筛选
ORDER BY ...              -- 排序

SELECT 查询的执行顺序（逻辑上）：FROM → WHERE → GROUP BY → HAVING → SELECT → ORDER BY

八、关系模型的优缺点

8.1 优点

  1. 概念单一：实体和联系都用关系表示，结构简单统一
  2. 非过程化：用户只需声明”要什么”，不需”怎么找”
  3. 坚实的数学基础：建立在集合论和谓词逻辑之上
  4. 数据独立性高：物理独立性和逻辑独立性都好
  5. 集合操作：操作对象和结果都是集合（元组集合）
  6. 标准统一：SQL 成为工业标准

8.2 缺点 / 局限

  1. 表达能力有限：对某些复杂查询（如递归查询）表达困难
  2. 面向对象能力弱：不直接支持继承、聚合等 OO 概念
  3. 复杂数据类型支持不足：传统关系模型难以处理图像、音频、XML 等非结构化数据
  4. 阻抗失配（Impedance Mismatch）：与面向对象编程语言的数据模型不匹配

这些局限推动了后续数据库技术的发展：面向对象数据库、对象-关系数据库、NoSQL 数据库等。

九、本章要点回顾

  1. 三个核心概念：域、笛卡尔积、关系
  2. 关系的六条性质：列同质、列序无关、无重复元组、行序无关、分量原子、属性名唯一
  3. 三类键：候选键、主键、外键
  4. 三大完整性：实体完整性、参照完整性、用户自定义完整性
  5. 五种基本关系代数运算：选择、投影、并、差、笛卡尔积
  6. 三种常用附加运算：交、连接、除
  7. 关系演算：元组关系演算与域关系演算，与关系代数等价
  8. SQL：关系数据库的标准语言，是关系代数和关系演算的综合

关联笔记

  • 《数据库设计与实践》第2章-ER模型 —— 前一章，ER 模型是概念设计工具，本章关系模型是逻辑模型
  • 后续章节：SQL、关系规范化（函数依赖与范式）、事务、数据库性能调优等

说明：本笔记基于关系模型标准知识体系 + 从 PPT 中提取的有限关键词（E.F.Codd、笛卡尔积、n-tuple、TEACH(T,S,C) 关系示例、SQL Server 等）整理。由于 PPT 为图片型格式无法提取完整文本，具体案例数据、图示细节和讲解侧重点可能与实际授课有出入，仅供参考。

原始文件路径：/田浩然上传的资料/0A102 数据库设计与实践/chap03 关系模型.ppt 处理日期：2026-08-31 提取状态：partial_extraction（部分提取）

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